如图,延长CB至G,使得BG=DF,连接AG;
已知ABCD为正方形,则AB=AD
已知∠ABG=∠ADF=90°
BG=DF
所以,△ABG≌△ADF(SAS)
所以,∠BAG=∠DAF=15°,AG=AF
那么,∠GAE=15°+30°=45°
所以,∠GAE=∠FAE
边AE公共
所以,△AEG≌△AEF(SAS)
所以,S△AEF=S△AEG
在Rt△ABE中,设BE=x
已知∠BAE=30°
所以,AE=2x
由勾股定理得到:AE^2=AB^2+BE^2
===> (2x)^2=(√3)^2+x^2
===> 4x^2=3+x^2
===> 3x^2=3
===> x=1
则,BE=1
那么,CE=√3-1
设BG=y
那么,EF=y,GE=y+1
由△AEG≌△AEF知,EF=EG=y+1
所以,在Rt△CEF中由勾股定理有:EF^2=CE^2+CF^2
===> (y+1)^2=(√3-1)^2+(√3-y)^2
===> y^2+2y+1=3-2√3+1+3-2√3y+y^2
===> 2(√3+1)y=6-2√3=2(3-√3)
===> y=(3-√3)/(√3+1)=(3-√3)(√3-1)/2=(3√3-3-3+√3)/2
===> y=2√3-3
所以,GE=(2√3-3)+1=2(√3-1)
那么,S△AGE=(1/2)GE*AB=(1/2)*2(√3-1)*√3=3-√3
所以,S△AEF=S△AGE=3-√3
角DAF=90-30-15=45
S正方形ABCD=AB^2=3
作三角形AF'B全等于三角形AFD
AE=AE
AF=AG
角F'AE=30+15=角EAF=45
所以三角形F'AE全等于三角形AEF
又因为AE=2BE
BE^2+AB^2=AE^2
即BE^2+3=(2BE)^2
(BE-2BE)*(BE+2BE)=-3
-3BE=-3
BE=1
AE=2BE=1*2=2
因为角AF'E=角AFD=180-90-15=75
角AFE=角AF'E=75
所以角EFC=180-75-75=30
EC=根号3-1=1/2EF
EF=2根号3-2=F'E
所以S△AF'E=S△AFE=F'E*AB*1/2=(2根号3-2)*(根号3-1)*1/2=3/2根号3-3/2
BE=1,根据三角形得出,DF=2根号三-3,AB=根号三,正方形面积3,除了AEF以外三角形面积根号三,所求面积3-根号三。